一个令人喜闻乐见的专题

前言：

关于我为什么要讲高数：

• 在一个月不黑风不高的晚上，某位神犇在为我们讲一道名为十二重计数法(神犇的blog)的神仙数学题时，出现了一个十分有趣的式子:
• $$\begin{equation*} \begin{split} \ln_{}{(1-x^{t})} & = \int \frac{-tx^{t-1}}{1-x^{t}}dx\\ & = \int (-t \sum_{i=1}x^{ti-1})dx\\ & = -\sum_{i=1}\frac{x^{ti}}{i} \end{split} \end{equation*}$$ 但是由于大家的修行不够，并没有悟到该式子的真谛，所以今天有我来填这个大坑。（有些公式的证明可能没有办法全部展示完，对于重要的公式会单独写几篇博客 挖坑小能手）。

导数

引入

我们先回想一个初中就学过的函数 。那么，对于这个朴实无华的二次函数，我们该如何求出函数上每个点的切线斜率呢？
在考虑这个问题之前，让我们先想一想如何求一次函数斜率。
对于一次函数 ，k就是该函数的斜率。当然，也可以表示为

• $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ 或者
• $$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \quad (y_{1} < y_{2} \enspace , \enspace x_{1} < x_{2})$$ 那我们是不是也可以用同样的方式表示二次函数在某一点上的斜率呢？我们用 表示一段区间上的斜率，其中 ， ，为了方便理解，我们直接上图。
  
• 可以表示为：

$$\begin{equation*} \begin{split} \Delta y & =f(x_{2})-f(x_{1}) \\ & = f(x_{1}+\Delta x) - f(x_{1}) \end{split} \end{equation*}$$

• 那么 可以表示为： $$k=\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

下一步我们让无线趋近于0，符号表示为，这样就可以表示图像在点的斜率。

• $$k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

斜率其实就是导数的几何意义，下面给出导数的定义。

导数的定义

定义

导数(Derivative)，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

设函数 在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量 ， 也在该邻域内时，相应地函数取得增量；如果与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作①；②；③，即

• $$f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$$

导函数

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y’、f’（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。

几何意义

函数y=f（x）在x0点的导数f’（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

公式

常用函数导数

导数运算法则

复合函数求导

设 且和都可导（忘写如何判断函数是否可导了，挖个坑），则复合函数的导数为

• $${\large{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}}} \quad 或 \quad {\large{y'(x)=f'(x) \cdot g'(x)}}$$

  高阶导数

  高阶导数就是对函数进行大于等于二次求导，例如二阶导数可以表示为或
• $$f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'$$